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　　在凡是碰着的实际问题中，假如按照问题的性质，可以判定出函数f（x，y）的最大值（最小值）必然在D的内部取得，而函数f（x，y）在D内只有一个驻点，则可以必定该驻点处的函数值就是函数f（x，y）在D上的最大值（最小值）。
　　又y=25-x，解x=15，y=10。按照问题自己的意义及驻点的独一性即知，当投入两种告白的用度别离为15万元和10万元时，可使利润最大。
　　利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除告白用度.已知告白用度总预算金是25万元，试问如何分派两种告白用度使利润最大？
　　例1 设q1为商品A的需求量，q2为商品B的需求量，其需求函数别离为q1=16-2p1+4p2，q2=20+4p1-10p2，总本钱函数为C=3q1+2q2，个中p1，p2为商品A和B的价值，试问价值p1，p2取何值时可使利润最大？
　　解 按题意，总收益函数为：
　　cxαy1-α，式中x代表劳动力的数量，y为成本数量（确切地说是y个单元成本），c与α（0<α<1）是常数，由各工场的详细景象而定，函数值暗示出产量，此刻已知某制造商的Cobb-Douglas出产函数是f（x，y）=100x3/4y1/4每个劳动力与每单元成本的整天职别是150元及250元，该制造商的总预算是50 000元，问他该如何分派这笔钱用于招聘劳动力与成本，以使出产量最高。
　　令Lx=（p-c）+λ+kμ/x=0，Lp=x+λaMe-ap=0，Lc=-x+μ=0
　　L（x，y，λ）=-x-y+λ（x+y-25）
　　由问题自己可知最优价值肯定存在，故这个p*就是电视机的最优价值。
　　在该式双方同乘x1/4y3/4，有25x-125y=0，即x=5y。将此功效代入方程组的第三个方程得x=250，y=50，即该制造商应该招聘250个劳动力而把其余的部门作为成本投入，这时可得到最大产量f（250，50）=16 719。
　　中的第一个方程解得λ=x-1/4y1/4，将其代入第二个方程中，得
　　解 这是个条件极值问题，求函数f（x，y）=100x3/4y1/4在条件150x+250y=5 000下的最大值。
　　=4（p1-3）+（20+4p1-10p2）-10（p2-2）
　　故取p1=63/2，p2=14价值时利润可达最大，而此时得产量为q1=9，q2=6。
　　由此得p*=
　　从而
　　例4 设某电视机厂出产一台电视机的本钱为c，每台电视机的销售价值为p，销售量为x。假设该厂的出产处于均衡状态，即电视机的出产量便是销售量，按照市场预测，销售量x与销售价值为p之间有下面的干系：
　　个中M为市场最大需求量，a是价值系数。同时，出产部分按照对出产环节的阐明，对每台电视机的出产本钱c有如下测算：
　　 　　一、二元函数的最大值与最小值
　　求函数f（x，y）的最大值和最小值的一般步调为：
　　L=R-C=q1（p1-3）+q2（p2-2）
　　（1）求函数f（x，y）在D内所有驻点处的函数值;（2）求f（x，y）在D的界线上的最大值和最小值;（3）将前两步获得的所有函数值举办较量，个中最大者即为最大值，最小者即为最小值。
　　Lx=-1+λ=0，Ly=-1+λ=0
　　将（3）、（4）、（5） 代入Lx=0，得
　　例3 设销售收入R（单元：万元）与耗费在两种告白宣传的用度x，y（单元：万元）之间的干系为
　　c=c0-klnx （k>0，x>1） （2）
　　x=Me-ap （M>0，a>0） （1）
　　于是问题化为利润函数u=（p-c）x在附加条件（1）、（2） 下的极值问题。
　　R=p1q1+p2q2=p1（16-2p1+4p2）+p2（20+4p1-10p2）
　　L（x，p，c，λ，μ）=（p-c）x+λ（x-Me-ap）+μ（c-c0+klnx）
　　二、二元函数的最值在经济中的应用
　　解 设厂家得到的利润为u，每台电视机售价为p，每台出产本钱为c，销售量x，则u=（p-c）x。
　　由此解得p1=63/2，p2=14，又因
　　整理得
　　（L"xy）2-L"xx·L"yy=82-（-4）（-20）<0
　　个中c0是只出产一台电视机时的本钱，k是局限系数，按照上述条件，应如何确定电视机的售价p，才气使该厂得到最大利润？
　　Lx=75x-1/4y1/4-150λ=0Lx=25x3/4y-3/4-250λ=0Lx=50 000-150x-250y=0
　　（5+x）2=（10+y）2
　　于是总利润函数为
　　令L（x，y，λ）=100x3/4y1/4+λ（50 000-150x-250y），由方程组
　　由（1）及Lp=0知λa=-1，即λ=-1/a （4）
　　=14-4p1+8p2=0
　　将（1）代入（2），得c=c0-k（lnM-ap） （3）
　　限制条件为x+y=25，这是条件极值问题，令
　　p-c0+k（lnM-ap）-1/a+k=0
　　由Lc=0知x=μ，即x/μ=1
　　例2 在经济学中有个Cobb-Douglas出产函数模子f（x，y）=
　　=28+8p1-20p2=0
　　解 设利润为z，有
　　为使总利润最大，求一阶偏导数，并令其为零：
　　25x3/4y-3/4-125x-1/4y1/4=0
　　操作拉格朗日乘数法，作拉格朗日函数：
　　=（p1-3）（16-2p1+4p2）+（p2-2）（20+4p1-10p2）